Лист № 4

Цель задания : ознакомление с правилами построения плавного перехода от одной линии к другой.

Выполнить на листе формата А4 задание «Сопряжение», взяв данные по своему варианту из таблицы 6 (стр. 38-41).

Сопряжением линий называется плавный переход по кривой от одной линии к другой. Точкой сопряжения линий называется общая точка двух сопрягаемых линий, это точка в которой одна линия переходит в другую линию.

Построение сопряжений основано на геометрических понятиях о прямых, касательных к окружностям и на свойствах касающихся между собой окружностей.

Для правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять построения сопряжений, которые основаны на двух положениях:

1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восстановленном из точки сопряжения (рисунок 38). При сопряжении прямой линии и кривой прямая должна являться одновременно касательной к кривой.

2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, лежали на прямой, проходящей через точку сопряжения и перпендикулярной к общей касательной этих дуг (рисунок 38). Точку сопряжения находят на прямой, соединяющей центры окружностей. Точка сопряжения (В) является границей двух линий, здесь кончается одна линия и начинается другая. Следовательно, точки сопряжения являются вместе с тем и точками касания прямой и дуги или двух дуг.

Рисунок 38 – Построение сопряжений

Рассмотрим построение сопряжений сторон угла (острого, тупого, прямого) дугой заданного радиуса R (рисунок 39).

На рисунке 39а выполнено построение сопряжения сторон острого угла дугой, на рисунке 39б – тупого угла, на рисунке 39в – прямого.

Сопряжение выполняется следующим образом: параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих линий будет центром дуги радиуса R, т.е. центром сопряжения. Из центра О описывают дугу, плавно переходящую в прямые – стороны угла. Дугу заканчивают в точках М и N – это точки сопряжения, они являются основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на стороны угла.

Рисунок 39 – Построение сопряжений

Рассмотрим построение сопряжения дуги с дугой.

Сопряжение двух дуг окружностей может быть внутренним, внешним и смешанным.

При внутреннем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40а).

При внешнем сопряжении центры О и О 1 сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рисунок 40б).

При смешанном сопряжении центр О 1 одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр О другой сопрягаемой дуги вне её (рисунок 40в).

а) б) в)

Рисунок 40 – Построение сопряжений

Построение внутреннего сопряжения.

а) радиусы сопрягаемых окружностей R 1 и R 2 ;

б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

в) провести дугу сопряжения.

Построение сопряжения показано на рисунке 40а. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 2 , а из центра О – радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 1 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек сопряжения точку О 2 соединяют с точками О и О 1 прямыми линиями. Точки пересечения продолжения прямых О 2 О и О 2 О 1 с сопрягаемыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки S и S 1).

Радиусом R из центра О 2 проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения S и S 1 .

Построение внешнего сопряжения.

б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения S и S 1 ;

в) провести дугу сопряжения.

Построение внешнего сопряжения показано на рисунке 40б. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой R 2 и сопрягающей R. Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек сопряжения центры дуг соединяют прямыми линиями ОО 2 и О 1 О 2 . Эти две прямые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряжения S и S1.

Из центра О 2 радиусом R проводят сопрягающую дугу, ограничивая её точками сопряжения S и S 1 .

Построение смешанного сопряжения.

а) радиусы R 1 и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;

б) расстояние l 1 и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а) определить положение центра О 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения S и S 1 ;

в) провести дугу сопряжения.

Пример смешанного сопряжения приведен на рисунке 41 а,б .

а) б)

Рисунок 41 – Построение сопряжений

По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры О и О 1 , из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R, а из центра О 1 – радиусом, равным разности радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке О 2 , которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.

Соединив точки О и О 2 прямой получают точку сопряжения S 1 , соединив точки О 1 и О 2 находят точку сопряжения S. Из центра О 2 проводят дугу сопряжения от S до S 1 .

Таблица 6 – Варианты графической работы на построение сопряжений

1	2
3	4
5	6
7	8

Продолжение таблицы 6

9	10
11	12
13

В этой небольшой статье, будут рассмотрены основные виды сопряжений и Вы узнаете о том, как построить сопряжение углов, прямых линий, окружностей и дуг, окружностей с прямой.

Сопряжением называют плавный переход одной линии в другую. Для того чтобы построить сопряжение, нужно найти центр сопряжения и точки сопряжений.

Точка сопряжения – это общая точка для сопрягаемых линий. Точку сопряжения также называют точкой перехода.

Ниже будут рассмотрены основные типы сопряжений .

Сопряжение углов (Сопряжение пересекающихся прямых)

Сопряжение прямого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)

В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.

Сопряжение острого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом)

Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение
острого угла . Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля,равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a
и b. Сопряжение острого угла построено.

Сопряжение тупого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)

Строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.

Сопряжение параллельных прямых линий

Построим сопряжение двух параллельных прямых . Нам задана точка сопряжения a, лежащая на одной прямой. Из точки a проведём перпендикуляр до пересечения его с другой прямой в точке b. Точки a и b являются точками сопряжения прямых линий. Проведя из каждой точки дугу, радиусом больш отрезка ab, найдём центр сопряжения — точку О. Из центра сопряжения проведём дугу заданного радиуса сопряжения R.

Сопряжение окружностей(дуг) с прямой линией

Внешнее сопряжение дуги и прямой линии

В этом примере будет построено сопряжение заданным радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиусом R.

Сначала найдём центр сопряжения. Для этого проведём прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса сопряжения r, и дугу, из центра окружности OR радиусом R+r. Точка пересечения дуги и прямой и будет центром сопряжения – точкой Оr .

Из центра сопряжения, точки Оr , опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на пересечении перпендикуляра и отрезка AB, и будет точкой сопряжения. Найдём вторую точку сопряжения на дуге окружности. Для этого соединим центр окружности ОR и центр сопряжения Оr линией. Получим вторую точку сопряжения – точку C. Из центра сопряжения проведём дугу сопряжения радиусом r, соединив точки сопряжения.

Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой

По аналогии строится внутреннее сопряжение прямой линии с дугой. Рассмотрим пример построения сопряжения радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиуса R. Найдём центр сопряжения. Для этого построим прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса r, и дугу, из центра окружности OR радиусом R-r. Точка Оr , полученная на пересечении прямой и дуги, и будет центром сопряжения.

Из центра сопряжения(точка Оr ) опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на основании перпендикуляра, и будет точкой сопряжения.

Для нахождения второй точки сопряжения на дуге окружности, соединим центр сопряжения Оr и центр окружности ОR прямой линией. На пересечении линии с дугой окружности получим вторую точку сопряжения – точку C. Из точки Оr , центра сопряжения, проведём дугу радиусом r, соединив точки сопряжения.

Сопряжение окружностей (дуг)

Внешним сопряжением считается сопряжение, при котором центры сопрягаемых окружностей(дуг) O1(радиус R1) и O2 (радиус R2) располагаются за сопрягающей дугой радиуса R. На примере рассмотрено внешнее сопряжение дуг. Сначала находим центр сопряжения. Центром сопряжения является точка пересечения дуг окружностей с радиусами R+R1 и R+R2, построенных из центров окружностей O1(R1) и O2(R2) соответственно. Затем центры окружностей O1 и O2 соединяем прямыми с центром сопряжения, точкой O, и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. После этого, из центра сопряжения строим дугу заданного радиуса сопряжения R и соединяем ей точки A и B.

Внутренним сопряжением называется сопряжение, при котором центры сопрягаемых дуг O1, радиуса R1, и O2, радиус R2, располагаются внутри сопрягающей их дуги заданного радиуса R. На картинке ниже приведён пример построения внутреннего сопряжения окружностей(дуг). Вначале мы находим центр сопряжения, которым является точка O, точка пересечения дуг окружностей с радиусами R-R1 и R-R2 проведённых из центров окружностей O1и O2 соответственно. После чего соединяем центры окружностей O1 и O2 прямыми линиями с центром сопряжения и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. Затем из центра сопряжения строим дугу сопряжения радиуса R и строим сопряжение.

Смешанным сопряжением дуг является сопряжение, при котором центр одной из сопрягаемых дуг (O1) лежит за пределами сопрягающей их дуги радиуса R, а центр другой окружности(O2) – внутри её. На иллюстрации ниже приведён пример смешанного сопряжения окружностей. Сначала находим центр сопряжения, точку O. Для нахождения центра сопряжения строим дуги окружностей с радиусами R+R1, из центра окружности радиуса R1 точки O1, и R-R2, из центра окружности радиуса R2 точки O2. После чего соединяем центр сопряжения точку O с центрами окружностей O1 и O2 прямыми и на пересечении с линиями соответствующих окружностей получаем точки сопряжения A и B. Затем строим сопряжение.

Форма многих деталей имеет плавный переход одной поверх­ности в другую (рис. 59). Для построения на чертежах контуров таких поверхностей используются сопряжения - плавный пере­ход одной линии в другую.

Для построения линии сопряжений необходимо знать центр, точки и радиус сопряжения.

Центром сопряжения является точка, равноудаленная от со­прягаемых линий (прямых или кривых). В точках сопряжений происходит переход (касание) линий. Радиусом сопряжения на­зывается радиус дуги сопряжения, с помощью которой происхо­дит сопряжение.

Рис. 59. Примеры плавного соединения поверхностей хлебницы и линий на проекции ее боковой стенки

Рис. 60. Сопряжение углов на примере построения проекции боковой стенки хлебницы

Центр сопряжения должен находиться на пересечении допол­нительно построенных линий (прямых или дуг), равноудаленных от заданных линий (прямых или дуг) либо на величину радиуса сопряжения, либо на специально рассчитываемое для данного типа сопряжения расстояние.

Точки сопряжения должны находиться на пересечении задан­ной прямой с перпендикуляром, опущенным из центра сопряже­ния на заданную прямую, либо на пересечении заданной окруж­ности с прямой, соединяющей центр сопряжения с центром за­данной окружности.

Сопряжение углов. Рассмотрим последовательность сопряже­ния углов (рис. 60) на примере построения проекции боковой стенки хлебницы:

1) построим трапецию, условно принимая ее за изображение формы заготовки для стенки хлебницы;

2) найдем центры сопряжения как точки пересечения вспомо­гательных линий, равноудаленных от сторон трапеции на рас­стояние, равное радиусу сопряжения, и параллельных им;

3) найдем точки сопряжения - точки пересечений перпенди­куляров, опущенных на стороны трапеции из центров сопря­жения;

4) из центров сопряжения проведем дуги радиусом сопряже­ния от одной точки сопряжения до другой; при обводке получен­ного изображения вначале обведем дуги сопряжений, а затем - сопрягаемые линии.

Сопряжение прямой и окружности дугой заданного радиуса. Рассмотрим это на примере построения фронтальной проекции детали «Опора» (рис. 61). Будем считать, что большая часть по­строения проекции уже сделана; необходимо отобразить плавный переход цилиндрической части поверхности к плоской. Для этого необходимо выполнить сопряжение окружности (дуги окружно­сти) с прямой линией заданным радиусом:

1) найдем центры сопряжения как точки пересечения четырех вспомогательных линий: двух прямых, параллельных верхнему ребру основания «Опоры» и удаленных от нее на расстояние, равное радиусу сопряжения, и двух вспомогательных дуг, от­стоящих от заданной дуги (цилиндрической поверхности) «Опо­ры» на расстояние, равное радиусу сопряжения;

2) найдем точки сопряжения как точки пересечения: а) задан­ных прямых (ребер «Опоры») с перпендикулярами, опущенными к ним из центров сопряжения; б) заданной дуги, изображающей на чертеже цилиндрическую поверхность опоры, с прямыми, со­единяющими центры сопряжения с центром сопрягаемой дуги;

3) из центров сопряжения проводим дуги радиусом сопряже­ния от одной точки сопряжения до другой. Обводим изображе­ние.

Сопряжение дуг окружностей дугами заданного радиуса. Рассмотрим это на примере построения фронтальной проекции формы для выпечки печенья (рис. 62), имеющей плавные перехо­ды одной поверхности в другую:

1) проведем вертикальную и горизонтальные осевые линии. На них найдем центры и проведем три дуги радиусом R;

2) найдем центр сопряжения двух верхних окружностей как точку пересечения вспомогательных дуг радиусами, равными сумме радиусов заданной окружности (R) и сопряжения (R 1), т.e.R + R 1 ;

3) найдем точки сопряжения как точки пересечения заданных окружностей с прямыми, соединяющими центр сопряжения с центрами окружностей. Такое сопряжение называют внешним сопряжением;

Рис. 61. Сопряжение дуги и прямых линий на примере построения фронтальной проекции детали «Опора»

Рис. 62. Сопряжение трех дуг окружностей дугами заданных радиусов на примере
построения фронтальной проекции формы для выпечки печенья

4) построим сопряжения двух окружностей дугой заданного радиуса сопряжения R 2 . Сначала найдем центр сопряжения перассечением дуг вспомогательных окружностей, радиусы которых равны разности радиуса сопряжения R 2 и радиуса окружности R, т. е. R 2 - R. Точки сопряжения получены на пересечении ок­ружности с продолжением линии, соединяющей центр сопряже­ния с центром окружности. Из центра сопряжения проведем ду­гу радиусом R 2 . Такое сопряжение называется внутренним со­пряжением;

5) аналогичные построения выполним с другой стороны от оси симметрии.

Сопряжением принято называть плавный переход прямой линии в дугу окружности или одной дуги в другую. Общая для этих линий точка называется точкой сопряжения.

В основе алгоритма решения задач на построение сопряжений лежат следующие правила.

Правило 1. Прямая, касательная к окружности, составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания.

Правило 2. Геометрическим местом центров окружностей, касательных к данной прямой, является прямая, параллельная заданной прямой и отстоящая от нее на величину радиуса окружности.

Правило 3. Точка касания двух окружностей (точка сопряжения) находится на линии, соединяющей их центры.

В общем случае построение сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения состоит из следующих этапов:

• 1. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от первой из сопрягаемых линий.
• 2. Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от второй из сопрягаемых линий.
• 3. Определение на пересечении множества точек центра дуги сопряжения.

Рис. 2.22. Построение прямой, касательной к окружности

Рис. 2.23.

• 4. Определение точки сопряжения на первой (или второй) из сопрягаемых линий.
• 5. Проведение дуги сопряжения в зоне между точками сопряжения.

Построение прямой, касательной к окружности (рис. 2.22). Для построения прямой t, касающейся окружности в заданной точке А, достаточно в соответствии с правилом 1 провести искомую прямую перпендикулярно радиусу О А.

Для проведения касательной к окружности, параллельной заданной прямой Ь, достаточно найти точку сопряжения М на пересечении заданной окружности с перпендикуляром к прямой из центра О: b ± ОВ ; к _L ОВ ; к || Ь.

Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности данного радиуса (рис. 2.23). В соответствии с правилом 2 для нахождения центра О сопрягающей окружности провести вспомогательные прямые, параллельные заданным т и л, на расстоянии, равном радиусу R. Точка

Рис. 2.24.

О пересечения вспомогательных прямых - центр дуги сопряжения. Точки сопряжения Ли В лежат в основаниях перпендикуляров к исходным прямым и ограничивают угловой размер дуги сопряжения.

Если положение одной из точек сопряжения задано (точка А на рис. 2.24), а радиус сопряжения не указан, то искомый центр О находится на пересечении перпендикуляра из точки Л с биссектрисой угла, образованного заданными прямыми (построение биссектрисы см. на рис. 2.10).

Сопряжение трех пересекающихся прямых (рис. 2.25). Положение центра сопрягаемой окружности определяется точкой пересечения биссектрис углов. Радиус окружности (дуги сопряжения) равен длине перпендикуляра, опущенного из центра О на любую из заданных прямых.

Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса (рис. 2.26). Внешнее касание (рис. 2.26, а). Центр О, дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R x , и дуги радиуса Я + Я, из центра О. Точки сопряжения К и М находятся соответственно в основании перпендикуляра О х К и на пересечении прямой OOj с основной окружностью.

Внутреннее касание (рис. 2.26, б). Центр О х дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R, и дуги радиуса R - центра О. Точки сопряжения - соответственно в основании перпендикуляра О,К и на пересечении продолжения луча ОО х с основной окружностью.

R 3 .

Внешнее касание (рис. 2.27, а). Центр О э искомой дуги радиуса

Рис. 2.26.

а - внешнее касание: б - внутреннее касание

R 3 находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О, и 0 2 соответствующими радиусами Я, + Я 3 и R 2 + R 3 .

Рис. 2.28.

Рис. 2.27. Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса: а - внешнее касание; б - внутреннее касание; в - смешанное касание

Внутреннее касание (рис. 2.27, б). Центр 0 3 искомой дуги радиуса R x находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О х и 0 2 соответствующими радиусами R 3 - R x n R 3 - R 2 .

Смешанное касание (внешнее и внутреннее) (рис. 2.27, в). Центр искомой дуги радиуса R 3 находится на пересечении вспомогательных дуг, проведенных из центров О, и 0 2 соответствующими радиусами R 3 - Я, и R 3 + R 2 . Для всех случаев точки сопряжения окружностей К и М по правилу 3 лежат на лучах, соединяющих центры окружностей.

Построение касательной к окружности через заданную внешнюю точку А (рис. 2.28). Точки сопряжения К и К х расположены на окружности при ее пересечении со вспо-

Рис. 2.29. Построение касательной к двум окружностям: а - внешнее касание: б - внутреннее касание

могательной дутой, проведенной через центр исходной окружности О радиусом, равным половине расстояния ОА.

Построение касательной к двум окружностям. Внешнее касание (рис. 2.29, а). Из центра О, большей окружности построить вспомогательную окружность радиусом Я, - Я 2 . Разделить отрезок 0,0 2 пополам в точке К и провести вторую вспомогательную окружность с центром в точке К радиусом Я = /ГО,. Точка В пересечения вспомогательных окружностей определяет направление радиуса О х К х, где К х - искомая точка сопряжения для окружности радиусом Я,. Для построения точки К 2 сопряжения для Я 2 достаточно из центра 0 2 провести радиус 0 2 К 2 параллельно радиусу О х К х.

Внутреннее касание (рис. 2.29, б). Из центра О, большей окружности построить вспомогательную окружность радиусом Я, + Я 2 . Далее воспроизвести построение по рис. 2.29, а.

Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через заданную точку Л на окружности (рис. 2.30).

Рис. 2.30. Сопряжение окружности и прямой при заданной точке сопряжения на окружности: а - внешнее касание; б - внутреннее касание

Рис. 2.31. Сопряжение окружности в заданной точке В с окружностью, проходящей через заданную точку А: а - внешнее касание; б - внутреннее касание

Центр дуги сопряжения определяется точкой пересечения луча ОА, проведенного через точку сопряжения А и центр О заданной окружности, и биссектрисы угла АВК, образованного касательной АВ в точке сопряжения и заданной прямой t. Радиус сопрягающей дуги равен расстоянию О, А; О х К Lt, где К - точка сопряжения на прямой t.

Построение окружности, проходящей через данную точку А и касающейся данной окружности с центром О в заданной точке В

(рис. 2.31). Центр О, дуги сопряжения определяется точкой пере-

Рис. 2.32. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга проходит через точку на прямой: а - внешнее касание; б - внутреннее касание

Рис. 2.33.

Рис. 2.34.

сечения луча, проведенного через центр О и заданную точку сопряжения В, с перпендикуляром, восставленным из середины хорды АВ; О х В - радиус искомой окружности.

Сопряжение окружности данного радиуса и прямой при условии, что дуга сопряжения должна проходить через точку А на прямой t (рис. 2.32). В данной точке А на прямой восставить перпендикуляр т и отложить на нем отрезок АВ, равный радиусу R заданной окружности. Полученную точку В соединить с центром О окружности и из середины отрезка ОВ восставить к нему перпендикуляр п. В точке пересечения перпендикуляров тип отметить точку 0 - центр искомой дуги сопряжения. По правилу 3 точка К - точка сопряжения; О,К - радиус дуги сопряжения.

Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса (рис. 2.33). Центр 0 3 дуги R 3 находится на пересечении двух вспомогательных дут, построенных соответственно из центров Oj и 0 2 радиусами R x + R 3 n R 2 - R 3 . Точки сопряжения КиМ определяются по правилу 3.

Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения (рис. 2.34). Для построения центров сопряжения Oj и 0 2 соединить заданные точки сопряжения А и В отрезком АВ. Отметив на АВ произвольную точку М, восставить срединные перпендикуляры к отрезкам AM и МВ. Искомые центры О х и 0 2 находятся в точках пересечения срединных перпендикуляров с соответствующими перпендикулярами из точек Аи В сопряжения. Радиусы сопрягаемых дуг: R j = О х А; R 2 = 0 2 В. Если AM = МВ, то Ri = R 2 .

Сопряжение двух параллельных прямых

Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения М (рис. 2.19, а ). Требуется построить сопряжение.

• 1) находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 2.19, б). Для этого из точки М восставляют перпендикуляр до пересечения с прямой в точке N. Отрезок MN делят пополам (см. рис. 2.7);
• 2) из точки О – центра сопряжения радиусом ОМ = ON описывают дугу от точек сопряжения М и N (рис. 2.19, в ).

Рис. 2.19.

Даны окружность с центром О и точка А. Требуется провести из точки А касательную к окружности.

1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.

Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 2.20, а ). Чтобы найти центр О 1, делят отрезок ОА пополам (см. рис. 2.7).

2. Точки M и N пересечения вспомогательной окружности с заданной – искомые точки касания. Точку А соединяют прямыми с точками М или N (рис. 2.20, б ). Прямая AM будет перпендикулярна прямой ОМ, так как угол АМО опирается на диаметр.

Рис. 2.20.

Проведение прямой, касательной к двум окружностям

Даны две окружности радиусов R и R 1. Требуется построить прямую, касательную к ним.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 2.21, б ) и внутреннее (рис. 2.21, в ).

При внешнем касании построение выполняют следующим образом:

• 1) из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т.е. R – R 1 (рис. 2.21, а ). К этой окружности из центра О1 проводят касательную прямую Ο 1Ν. Построение касательной показано на рис. 2.20;
• 2) радиус, проведенный из точки О в точку Ν, продолжают до пересечения в точке М с заданной окружностью радиуса R. Параллельно радиусу ОМ проводят радиус Ο 1Ρ меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений М и Р, – касательная к заданным окружностям (рис. 2.21, б ).

Рис. 2.21.

При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R 1 (рис. 2.21, в ). Затем из центра О 1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 2.20). Точку N соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу ON проводят радиус O1Р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений М и Р.

Сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса

Даны дуга окружности радиуса R и прямая. Требуется соединить их дугой радиуса R 1.

• 1. Находят центр сопряжения (рис. 2.22, а ), который должен находиться на расстоянии R 1 от дуги и от прямой. Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R1) (рис. 2.22, а ). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R 1 описывают из центра О дугу до пересечения со вспомогательной прямой. Полученная точка О1 – центр сопряжения.
• 2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 2.22, б ): соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O1 и О и опускают из центра сопряжения Ο 1 перпендикуляр на заданную прямую.
• 3. Из центра сопряжения Οχ между точками сопряжения Μ и Ν проводят дугу, радиус которой R 1 (рис. 2.22, б ).

Рис. 2.22.

Сопряжение двух дуг дугой заданного радиуса

Даны две дуги, радиусы которых R 1 и R 2. Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.

Различают три случая касания: внешнее (рис. 2.23, а, б ), внутреннее (рис. 2.23, в ) и смешанное (см. рис. 2.25). Во всех случаях центры сопряжений должны быть расположены от заданных дуг на расстоянии радиуса дуги сопряжения.

Рис. 2.23.

Построение выполняют следующим образом:

Для внешнего касания:

• 1) из центров Ο 1 и О2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 2.23, а ); радиус дуги, проведенной из центра Ο 1, равен R 1 + R 3; а радиус дуги, проведенной из центра O2, равен R 2 + R 3. На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения – точка O3;
• 2) соединив прямыми точку Ο1 с точкой 03 и точку O2 с точкой O3, находят точки сопряжения M и N (рис. 2.23, б );
• 3) из точки 03 раствором циркуля, равным R 3, между точками Μ и Ν описывают сопрягающую дугу.

Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов заданной и сопрягающей дуг, т.е. R 4 – R 1 и R 4 – R 2. Точки сопряжения Р и К лежат на продолжении линий, соединяющих точку O4 с точками O1 и O2 (рис. 2.23, в ).

Для смешанного (внешнего и внутреннего ) касания (1-й случай):

• 1) раствором циркуля, равным сумме радиусов R 1 и R 3, из точки O2, как из центра, проводят дугу (рис. 2.24, а);
• 2) раствором циркуля, равным разности радиусов R 2 и R 3, из точки O2 проводят вторую дугу, пересекающуюся с первой в точке O3 (рис. 2.24, б );
• 3) из точки О1 проводят прямую линию до точки O3, из второго центра (точка O2) проводят прямую через точку O3 до пересечения с дугой в точке М (рис. 2.24, в).

Точка O3 является центром сопряжения, точки М и N – точками сопряжения;

4) поставив ножку циркуля в точку O3, радиусом R 3 проводят дугу между точками сопряжения Μ и Ν (рис. 2.24, г ).

Рис. 2.24.

Для смешанного касания (2-й случай):

• 1) две сопрягаемые дуги окружностей радиусов R 1 и R 2 (рис. 2.25);
• 2) расстояние между центрами О i и O2 этих двух дуг;
• 3) радиус R 3 сопрягающей дуги;

требуется:

• 1) определить положение центра O3 сопрягающей дуги;
• 2) найти на сопрягаемых дугах точки сопряжения;
• 3) провести дугу сопряжения

Последовательность построения

Откладывают заданные расстояния между центрами Ο 1 и O2. Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу радиусом равным сумме радиусов сопрягаемой дуги радиуса R 1 и сопрягающей дуги радиуса R 3, а из центра O2 проводят вторую вспомогательную дугу радиусом, равным разности радиусов R 3 и R 2, до пересечения с первой вспомогательной дугой в точке O3, которая будет искомым центром сопрягающей дуги (рис. 2.25).

Рис. 2.25.

Точки сопряжения находят по общему правилу, соединяя прямыми центры дуг O3 и O1, O 3 и O2. На пересечении этих прямых с дугами соответствующих окружностей находят точки М и N.

Лекальные кривые

В технике встречаются детали, поверхности которых ограничены плоскими кривыми: эллипсом, эвольвентной окружностью, спиралью Архимеда и др. Такие кривые линии нельзя вычертить циркулем.

Их строят по точкам, которые соединяют плавными линиями с помощью лекал. Отсюда название лекальные кривые.

Приведена на рис. 2.26. Каждая точка прямой, если ее катить без скольжения по окружности, описывает эвольвенту.

Рис. 2.26.

Рабочие поверхности зубьев большинства зубчатых колес имеют эвольвентное зацепление (рис. 2.27).

Рис. 2.27.

Спираль Архимеда изображена на рис. 2.28. Это плоская кривая, которую описывает точка, равномерно движущаяся от центра О по вращающемуся радиусу.

Рис. 2.28.

По спирали Архимеда нарезают канавку, в которую входят выступы кулачков самоцентрирующего трехкулачкового патрона токарного станка (рис. 2.29). При вращении конической шестерни, на обратной стороне которой нарезана спиральная канавка, кулачки сжимаются.

При выполнении этих (и других) лекальных кривых на чертеже можно для облегчения работы воспользоваться справочником.

Размеры эллипса определяются величиной его большой АВ и малой CD осей (рис. 2.30). Описывают две концентрические окружности. Диаметр большей равен длине эллипса (большой оси АВ ), диаметр меньшей – ширине эллипса (малой оси CD ). Делят большую окружность на равные части, например на 12. Точки деления соединяют прямыми, проходящими через центр окружностей. Из точек пересечения прямых с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, как показано на рисунке. При взаимном пересечении этих линий получают точки, принадлежащие эллипсу, которые, соединив предварительно от руки тонкой плавной кривой, обводят с помощью лекала.

Рис. 2.29.

Рис. 2.30.

Практическое применение геометрических построений

Дано задание: выполнить чертеж ключа, показанного на рис. 2.31. Как это сделать?

Прежде чем начинать чертить, проводят анализ графического состава изображения, чтобы установить, какие случаи геометрических построений необходимо применить. На рис. 2.31 показаны эти построения.

Рис. 2.31.

Чтобы вычертить ключ, нужно провести взаимно перпендикулярные прямые, описать окружности, построить шестиугольники, соединив верхние и нижние их вершины прямыми, выполнить сопряжение дуг и прямых дугами заданного радиуса.

Какова последовательность этой работы?

Вначале проводят те линии, положение которых определено заданными размерами и не требует дополнительных построений (рис. 2.32, а ), т.е. проводят осевые и центровые линии, описывают по заданным размерам четыре окружности и соединяют концы вертикальных диаметров меньших окружностей прямыми линиями.

Рис. 2.32.

Дальнейшая работа по выполнению чертежа требует применения изложенных в п. 2.2 и 2.3 геометрических построений.

В данном случае нужно построить шестиугольники и выполнить сопряжение дуг с прямыми (рис. 2.32, б ). Это и будет второй этап работы.