Главная » Химия » Найти наибольшую высоту треугольника. Высота треугольника. Визуальный гид (2020) Как найти длину треугольника зная высоту

Найти наибольшую высоту треугольника. Высота треугольника. Визуальный гид (2020) Как найти длину треугольника зная высоту

При решении различного рода задач, как сугубо математического, так и прикладного характера (особенно в строительстве), нередко требуется определить значение высоты определенной геометрической фигуры. Как рассчитать данную величину (высоту) в треугольнике?

Если мы попарно совместим 3 точки, расположенные не на единой прямой, то полученная фигура будет треугольником. Высота – часть прямой из любой вершины фигуры, которая при пересечении с противоположной стороной образует угол 90°.

Найти высоту в разностороннем треугольнике

Определим значение высоты треугольника в случае, когда фигура имеет произвольные углы и стороны.

Формула Герона

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, где

p – половина периметра фигуры, h(a) – отрезок к стороне a, проведенный под прямым углом к ней,

p=(a+b+c)/2 – расчет полупериметра.

В случае наличия площади фигуры для определения ее высоты можно воспользоваться соотношением h(a)=2S/a.

Тригонометрические функции

Для определения длины отрезка, который составляет при пересечении со стороной a прямой угол, можно воспользоваться следующими соотношениями: если известна сторона b и угол γ или сторона c и угол β, то h(a)=b*sinγ или h(a)=c*sinβ.
Где:
γ – угол между стороной b и a,
β – угол между стороной c и a.

Взаимосвязь с радиусом

Если исходный треугольник вписан в окружность, для определения величины высоты можно воспользоваться радиусом такой окружности. Центр ее расположен в точке, где пересекаются все 3 высоты (из каждой вершины) – ортоцентре, а расстояние от него и до вершины (любой) – радиус.

Тогда h(a)=bc/2R, где:
b, c – 2 другие стороны треугольника,
R – радиус описывающей треугольник окружности.

Найти высоту в прямоугольном треугольнике

В данном виде геометрической фигуры 2 стороны при пересечении образуют прямой угол – 90°. Следовательно, если требуется определить в нем значение высоты, то необходимо вычислить либо размер одного из катетов, либо величину отрезка, образующего с гипотенузой 90°. При обозначении:
a, b – катеты,
c – гипотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гипотенузу.
Произвести необходимые расчеты можно с помощью следующих соотношений:

  • Пифагорова теорема:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S=ab/2,то h(c)=ab/c .

  • Тригонометрические функции:

a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Найти высоту в равнобедренном треугольнике

Данная геометрическая фигура отличается наличием двух сторон равной величины и третьей – основанием. Для определения высоты, проведенной к третьей, отличной стороне, на помощь приходит теорема Пифагора. При обозначениях
a – боковая сторона,
c – основание,
h(c) – отрезок к c под углом 90°, то h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).


Для решения многих геометрических задач требуется найти высоту заданной фигуры. Эти задачи имеют прикладное значение. При проведении строительных работ определение высоты помогает вычислить необходимое количество материалов, а также определить, насколько точно сделаны откосы и проемы. Часто для построения выкроек требуется иметь представление о свойствах

У многих людей, несмотря на хорошие оценки в школе, при построении обычных геометрических фигур возникает вопрос о том, как найти высоту треугольника или параллелограмма. Причем является самым сложным. Это происходит потому, что треугольник может быть острым, тупым, равнобедренным или прямоугольным. Для каждого из существуют свои правила построения и расчета.

Как найти высоту треугольника, в котором все углы острые, графическим способом

Если все углы у треугольника острые (каждый угол в треугольнике меньше 90 градусов), то для нахождения высоты необходимо сделать следующее.

  1. По заданным параметрам выполняем построение треугольника.
  2. Введем обозначения. А, В и С будут вершинами фигуры. Углы, соответствующие каждой вершине - α, β, γ. Противолежащие этим углам стороны - a, b, c.
  3. Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины угла к противоположной стороне треугольника. Для нахождения высот треугольника проводим построение перпендикуляров: из вершины угла α к стороне a, из вершины угла β к стороне b и так далее.
  4. Точку пересечения высоты и стороны a обозначим H1, а саму высоту h1. Точка пересечения высоты и стороны b будет H2, высота соответственно h2. Для стороны c высота будет h3, а точка пересечения H3.

Высота в треугольнике с тупым углом

Теперь рассмотрим, как найти высоту треугольника, если один (больше 90 градусов). В этом случае высота, проведенная из тупого угла, будет внутри треугольника. Остальные две высоты будут находиться за пределами треугольника.

Пусть в нашем треугольнике углы α и β будут острыми, а угол γ - тупой. Тогда для построения высот, выходящих из углов α и β, надо продолжить противоположные им стороны треугольника, чтобы провести перпендикуляры.

Как найти высоту равнобедренного треугольника

У такой фигуры есть две равные стороны и основание, при этом углы, находящиеся при основании, также являются равными между собой. Это равенство сторон и углов облегчает построение высот и их вычисление.

Сначала нарисуем сам треугольник. Пусть стороны b и c, а также углы β, γ будут соответственно равными.

Теперь проведем высоту из вершины угла α, обозначим ее h1. Для эта высота будет одновременно биссектрисой и медианой.

Для основания можно сделать только одно построение. Например, провести медиану - отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника и противоположную сторону, основание, для нахождения высоты и биссектрисы. А для вычисления длины высоты для двух других сторон можно построить только одну высоту. Таким образом, чтобы графически определить, как вычислить высоту равнобедренного треугольника, достаточно найти две высоты из трех.

Как найти высоту прямоугольного треугольника

У прямоугольного треугольника определить высоты намного проще, чем у других. Это происходит потому, что сами катеты составляют прямой угол, а значит, являются высотами.

Для построения третьей высоты, как обычно, проводится перпендикуляр, соединяющий вершину прямого угла и противоположную сторону. В итоге для того, чтобы треугольника в данном случае, требуется только одно построение.

Высота треугольника это перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение (сторона, на которую опускается перпендикуляр, в данном случае называется основанием треугольника).

В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника. Третья внутри треугольника.

В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике катеты служат высотами.

Как найти высоту по основанию и площади

Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh .

  • А — площадь треугольника
  • b — сторона треугольника, на которую опущена высота.
  • h — высота треугольника

Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.

Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.

Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае «‘А = 20″‘, ‘»b = 4′».

Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.

В нашем примере: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника.
Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.

Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника!

Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.

Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.

Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!

b = √48 = 6,93

Как найти высоту с помощью углов и сторон

Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь — буквой «S».

Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.

Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).

Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.

Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.

Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).

Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.

Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.

Теперь осталось решить полученное уравнение. Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40). С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.

Треугольники.

Основные понятия.

Треугольник - это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.

Отрезки называются сторонами , а точки - вершинами .

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Высота треугольника.

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне.

В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).

В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).

Свойства высоты треугольника:

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).

Свойства биссектрисы:


Медиана треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).


Длину медианы можно вычислить по формуле:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

где m a - медиана, проведенная к стороне а .

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

c
m c = —
2

где m c - медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с).

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине

Внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой .

Две другие стороны называются катетами .


Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В.

Рис.14а

Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья - основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).

Свойства равностороннего треугольника:

Замечательные свойства треугольников.

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b , лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.15а ). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3.

2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b ). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2.

3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с ). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5.

4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): m c = с/2.

5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c)

6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d ).


Признаки равенства треугольников .

Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Неравенство треугольника.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площадь треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

ah
S = ——
2

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Треугольник, описанный около окружности.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ).


Треугольник, вписанный в окружность.

Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a ).

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).

Синус острого угла x противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin x .

Косинус острого угла x прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos x .

Тангенс острого угла x - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg x .

Котангенс острого угла x - это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg x .

Правила:

Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x :

b = c · sin x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x :

a = c · cos x

Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x :

b = a · tg x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x :

a = b · ctg x .


Для любого острого угла x :

sin (90° - x ) = cos x

cos (90° - x ) = sin x


Треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    ✪ ВЫСОТА МЕДИАНА БИССЕКТРИСА треугольника 7 класс

    ✪ биссектриса, медиана, высота треугольника. Геометрия 7 класс

    ✪ 7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

    ✪ Медиана, биссектриса, высота треугольника | Геометрия

    ✪ Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

    Субтитры

Свойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

  • Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности .
  • Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом , центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
  • Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник .
  • Центр описанной ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
  • Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника .
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
  • Если О - центр описанной окружности ΔABC, то O H → = O A → + O B → + O C → {\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}} ,
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
  • Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
  • Теорема Гамильтона . Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
  • Следствия теоремы Гамильтона :
    • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона , имеющих равные радиусы описанных окружностей.
    • Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
  • В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном - вне треугольника; в прямоугольном - в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник - равнобедренный (теорема Штейнера - Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
  • У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Свойства оснований высот треугольника

  • Основания высот образуют так называемый ортотреугольник , обладающий собственными свойствами.
  • Описанная около ортотреугольника окружность - окружность Эйлера . На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
  • Другая формулировка последнего свойства:
    • Теорема Эйлера для окружности девяти точек . Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром , все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек ).
  • Теорема . В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
  • Теорема . В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Другие свойства высот треугольника

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний ), то его внутренняя биссектриса , проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности , проведенному из той же самой вершины.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • В прямоугольном треугольнике высота , проведенная из вершины прямого угла , разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

  • Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
  • Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
  • При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
  • Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

  • h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , {\displaystyle h_{a}=b{\cdot }\sin \gamma =c{\cdot }\sin \beta ,}
  • h a = 2 ⋅ S a , {\displaystyle h_{a}={\frac {2{\cdot }S}{a}},} где S {\displaystyle S} - площадь треугольника, a {\displaystyle a} - длина стороны треугольника, на которую опущена высота .
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , {\displaystyle h_{a}={\frac {b{\cdot }c}{2{\cdot }R}},} где b ⋅ c {\displaystyle b{\cdot }c} - произведение боковых сторон, R − {\displaystyle R-} радиус описанной окружности
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . {\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=(b{\cdot }c):(a{\cdot }c):(a{\cdot }b).}
  • 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r {\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}} , где r {\displaystyle r} - радиус вписанной окружности .
  • S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) {\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}} , где S {\displaystyle S} - площадь треугольника.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) {\displaystyle a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}} , a {\displaystyle a} - сторона треугольника к которой опускается высота h a {\displaystyle h_{a}} .
  • Высота равнобедренного треугольника , опущенная на основание: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , {\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\cdot }{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},}
где c {\displaystyle c} - основание, a {\displaystyle a} - боковая сторона.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной h {\displaystyle h} , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c {\displaystyle c} на отрезки m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} , соответствующие катетам b {\displaystyle b} и a {\displaystyle a} , то верны следующие равенства.

Поделиться:

Похожие статьи