Степенные или показательные уравнения. Схема Горнера. Примеры Как решить уравнение 4 степени

Заадача№1

Решить уравнение третьей степени по формуле Кардано:

x 3 -3x 2 -3x-1=0.

Решение:Приведём уравнение к виду, не содержащему второй степени неизвестного. Для этого воспользуемся формулой

x = y – , где а коэффициент при x 2 .

Имеем: x=y+1.

(y+1) 3 -3(y+1) 2 -3(y+1)-1=0.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены,получим:

Для корней кубического уравнения y 3 +py+q=0 имеется формула Кардано:

yi= (i=1,2,3,),где значение радикала

, = .

Пусть α1 –одно /любое/ значение радикала α. Тогда два других значения находятся следующим образом:

α 2 = α 1 ε 1 , α 3 = α 1 ε 2, где ε 1 = + i , ε 2 = – i - корень третьей степени из единицы.

Если положить β 1 = – , то получим β 2 = β 1 ε 2, β 3 = β 1 ε 1

Подставляя полученные значение в формулу yi = αi+βi,найдём корни уравнения

y 1 = α 1 +β 1 ,

y 2 = -1/2(α 1 +β 1) + i (α 1 -β 1),

y 3 = -1/2(α 1 +β 1) – i (α 1 -β 1),

В нашем случае p = -6, q= - 6.

α= =

Одно из значений этого радикала равно . Поэтому положим α 1 = . Тогда β 1 = – = – = ,

y 2 = ) – i ).

Наконец, находим значение x по формуле x = y+1.

x 2 = ) + i ) + 1,

x 3 = ) – i ) + 1.

Задача №2

Решить способом Феррари уравнение четвёртой степени:

x 4 -4x 3 +2x 2 -4x+1=0.

Решение: Перенесём три последних члена в правую часть и оставшиеся два члена дополним до полного квадрата.

x 4 -4x 3 =-2x 2 +4x-1,

x 4 -4x 3 +4x 2 =4x 2 -2x 2 +4x-1,

(x 2 -2x) 2 =2x 2 +4x-1.

Введём новое неизвестное следующим образом:

(x 2 -2x+ ) 2 =2x 2 +4x-1+(x 2 -2x)y+ ,

(x 2 -2x+ ) 2 =(2+y)x 2 +(4-2y)x+() /1/.

Подберём y так, чтобы и правая часть равенства была полным квадратом.Это будет тогда,когда B 2 -4AC=0, где A=2+y, B=4-2y, C= -1.

Имеем:B 2 -4AC=16-16y+4y 2 -y 3 -2y 2 +4y+8=0

Или y 3 -2y 2 +12y-24=0.

Мы получили кубическую резольвенту,одним из корней которой является y=2. Подставим полученное значение y=2 в /1/,

Получим (x 2 -2x+1) 2 =4x 2 .Откуда (x 2 -2x+1) 2 -(2x) 2 =0 или (x 2 -2x+1-2x) (x 2 -2x+1+2x)=0.

Мы получим два квадратных уравнения:

x 2 -4x+1=0 и x 2 +1=0.

Решая их, находим корни первоначального уравнения:

x 1 =2- , x 2 =2+ , x 3 =-I, x 4 =i.

6.Рациональные корни многочлена

Задача№1

Найти рациональные корни многочлена

f(x)=8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x2+45x-18.

Решение :Для того, чтобы найти рациональные корни многочлена,пользуемся следующими теоремами.

Теорема 1. Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами,то p есть делитель свободного члена, а q- делитель старшего коэффициента многочлена f(x).

Замечание: Теорема 1 даёт необходимое условие для того, чтобы рациональное число . Было корнем многочлена,но этого условия недостаточно, т.е. условие теоремы 1 может выполняться и для такой дроби , которая не является корнем многочлена.

Теорема 2: Если несократимая дробь является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то при любом целом m ,отличном от , число f(m) делится на число p-qm, т.е целое число.

В частности полагая m=1, а затем m=-1, получим:

если корень многочлена, не равный ±1,то f(x) (p-q) и f(-x):.(p+q) , т.е. - целые числа.

Замечание: Теорема 2 даёт ещё одно необходимое условие для рациональных корней многочлена. Это условие удобно тем, что оно легко проверяется практически. Находим сначала f(1) и f(-1), а затем для каждой испытываемой дроби проверяем указанное условие. Если хотя бы одно из чисел дробное, то корнем многочлена f(x) не является.

Решение: По теореме 1 корни данного многочлена следует искать среди несократимых дробей, числители которых являются делителями 18, а знаменателями 8. Следовательно, если несократимая дробь есть корень f(x), то p равно одному из чисел: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q равно одному из чисел

±1, ±2,±4, ±8.

Учитывая, что = , = , знаменатели дробей будем брать лишь положительными.

Итак, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± .

Воспользуемся вторым необходимым.

Так как f(1)=72, f(-1)=120,отсюда в частности следует, что 1 и -1 не являются корнями f(x). Теперь для каждой возможной дроби будем проверять условия теоремы 2 при m=1 и m=-1, т. е. будем устанавливать, целыми или дробными являются числа: = и =

Результаты сведём в таблицу, где буквы”ц” и “д” означают соответственно, целым или дробным является число или

Из полученной таблицы видно, что и являются целыми лишь в тех случаях, когда равно одному из чисел: 2, -2, 3, -3, , , , .

По следствию из теоремы Безу число α- корень f(x) тогда и только тогда, когда f(x) (x-α). Следовательно, для проверки оставшихся девяти целых чисел можно применить схему Горнера деление многочлена на двучлен.

2 – корень.

Отсюда имеем: x=2 – простой корень f(x). Остальные корни данного многочлена совпадают с корнями многочлена.

F 1 (x) = 8x 4 +2x 3 -73x 2 -18x+9.

Аналогично проверим остальные числа.

2 – не корень, 3 – корень, -3 –корень, 9 – не корень, ½ - не корень, -1/2 –корень, 3/2 – не корень, ¼ - корень.

Итак, многочлен f(x)= 8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x 2 +45x-18 имеет пять рациональных корней:{2, 3, -3, -1/2, ¼}.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Решения данного рода уравнений можно выполнять по общей схеме решения уравнений высших степеней. Данного рода уравнения имеют решения в радикалах благодаря методу Феррари, позволяющему свести решения к кубическому уравнению. Однако в большинстве случаев с помощью разложения многочлена на множители удается быстро найти решение уравнения.

Допустим, дано двучленное уравнение четвертой степени:

Выполним разложение \ на множители многочлена:

Определяем корни первого квадратного трехчлена:

Определяем корни второго трехчлена:

В результате, исходное уравнение имеет четыре комплексных корня:

Где можно решить уравнения 4 степени онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте.А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

	2	5	-11	-20	12
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 5 -11 -20 12 2 2	Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9	2 ∙ 2 + 5 = 9
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7	2 ∙ 9 - 11 = 7
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6	2 ∙ 7 - 20 = -6
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0	2 ∙ (-6) + 12 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2	Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5	-2 ∙ 2 + 9 = 5
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3	-2 ∙ 5 + 7 = -3
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0	-2 ∙ (-3) - 6 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)

Многочлен 2x 2 + 5x - 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3

2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2	Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1	-3 ∙ 2 + 5 = -1
2 5 -11 -20 12 2 2 9 7 -6 0 -2 2 5 -3 0 -3 2 -1 0	-3 ∙ (-1) - 3 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители.

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .

Определение 1

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A - 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 - 2 B A x 2 = 0 x 2 - 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Пример 1

Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 · 2 · 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 - D 2 · 2 = 1 2 - i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 · 2 · 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 · 2 = - 1 2 + i x 4 = - 2 - D 2 · 2 = - 1 2 - i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x = 1 2 ± i и x = - 1 2 ± i .

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Определение 2

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2:

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C - 2 A = 0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Пример 2

Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2:

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

Проведем группировку:

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 - 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

D = 2 3 + 2 2 - 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 y 1 = - 2 3 - 2 + D 2 · 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 y 2 = - 2 3 - 2 - D 2 · 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3

Вернемся к замене: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .

Решим первое уравнение:

x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 · 2 · 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 · 2 = - 2 4 + i · 14 4 x 2 = - 2 - D 2 · 2 = - 2 4 - i · 14 4

Решим второе уравнение:

x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + i · 1 2 x 4 = - 3 - D 2 = - 3 2 - i · 1 2

Ответ: x = - 2 4 ± i · 14 4 и x = - 3 2 ± i · 1 2 .

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.

Пример 3

Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0 .

Решение

Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2 y 2 + 5 y - 3 = 0 D = 5 2 - 4 · 2 · (- 3) = 49 y 1 = - 5 + D 2 · 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = - 5 - D 2 · 2 = - 5 - 7 4 = - 3

Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = - 3 .

Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .

Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .

Пример 4

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .

Решение

Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 - 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = - 145 + D 2 · 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 y 2 = - 145 - D 2 · 16 = - 145 - 143 32 = - 9

Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = - 1 16 или x 2 = - 9 .

Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Пример 5

Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0 .

Решение

Имеем А = 3 , В = 3 , С = - 1 , D = - 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0

Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0 .

Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x - 2 = 0

Корнями первого уравнения будут x = - 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = - 2 .

Ответ: x 1 , 2 = - 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = - 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter